I love Math

Ukuran Pemusatan Data


Rumus	Data Tunggal	Data Berkelompok
Rataan (mean)	$\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n}$	$\bar{x} = \frac{\sum f_{i}.x_{i}}{\sum f_i}$
Modus	Mo = nilai dg frekuensi tertinggi/paling sering muncul	$Mo=T_B+ \frac{d_1}{d_1+d_2}.i$
Median	ganjil $\text{[math]}$ genap $Me= \frac 12.(x_{\frac n2}+x_{\frac n2+1})$	$Me=T_B+\frac{\frac n2-f_k}{f_{Me}}.i$
Kuartil	$Q_i = x_{\frac{i(n+1)}{4}}$ $_i = 1,2,3$	$Q_i=T_B+\frac{\frac {i.n}{4}-f_k}{f_Q}.i$
Desil	$D_i = x_{\frac{i(n+1)}{10}}$ $_i =1,2,3,4,5,6,7,8,9$	$D_i=T_B+\frac{\frac {i.n}{10}-f_k}{f_D}.i$

Untuk data tunggal, data diurutkan terlebih dahulu sehingga saat mencari median, kuartil dan desil kita tidak salah menentukan $x_i$ -nya.

Yang pasti, hafal rumusnya juga harus tau simbol dan cara menentukan nilainya yah…lihat keterangan berikut ini : Ket :

$x_i$	= nilai ke- i (data tunggal)
	= nilai tengah kelas ke-i (data berkelompok)
$f_i$	= frekuensi ke- i
$n= \sum f_i$	= jumlah frekuensi/banyaknya data
$T_B$	= tepi bawah = (BB – 0,5)
$d_1$	= frekuensi kelas modus – frek kls di atasny
$d_2$	= frekuensi kelas modus – frek kls di bawahny
$i$	= interval/panjang kelas=BA-BB+1
$f_k$	= frekuensi kumulatif sebelum kelas yg dimaksud
$f_{Me}$	= frekuensi kelas Median
$f_Q$	= frekuensi kelas kuartil
$f_D$	= frekuensi kelas desil
*letak kls Median	= $\frac n2$
*letak kls Kuartil	= $\frac{i.n}{4}$
*letak kls Desil	= $\frac{i.n}{10}$

langsung ke contoh dan pembahasan soal data tunggal yuk…

1) diketahui data sebagai berikut : 5, 6, 4, 8, 7, 3, 8, 9, 4, 10 . Tentukan $\bar x$ , Modus, Median, Kuartil ke-3, dan desil ke-7 !

jawab :

urutan data:

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	$x_8$	$x_9$	$x_{10}$
3,	4,	4,	5,	6,	7,	8,	8,	9,	10

$\begin{array}{rcl} 1.\:\bar x & = & \frac{3+4+4+5+6+7+8+8+9+10}{10}\\ & = & \frac{64}{10}\\ & = & 6,4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2.\:Mo & = & 4 dan 8\end{array}$

$\begin{array}{rcl} 3.\:Me & = & \frac 12.(x_5+x_6)\\ & = & \frac 12.(6+7)\\ & = & 6,5 \end{array}$

$\begin{array}{rcl}4.\:Q_3 & = & x_{\frac{3(10+1)}{4}}\\ & = & x_{8,25}\\ & = & x_8+0,25(x_9-x_8)\\ & = & 8+0,25(9-8)\\ & = & 8,25\end{array}$

$\begin{array}{rcl}5.\:D_7 & = & x_{\frac{7(10+1)}{10}}\\ & = & x_{7,7}\\ & = & x_8+0,7(x_8-x_7)\\ & = & 8+0,7(8-8)\\ & = & 8\end{array}$

sekian pd materi kali ini, selamat belajar...

Gradien Garis disimbolkan dengan “m” dimana :

* gradien pada persamaan garis $y={\color{Red} m}x+c$ adalah m

* gradien pada persamaan garis ${\color{Green} a}x+{\color{Blue} b}y=c$ adalah ${\color{Red} m}=-\frac{{\color{Green} a}}{{\color{Blue} b}}$

* gradien jika diketahui dua titik (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) adalah ${\color{Red} m}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Gradien dua garis lurus

* yang saling sejajar maka

* yang saling tegak lurus m_1.m_2=-1

Persamaan Garis Lurus

* Jika diketahui satu titik (x₁,y₁) dan gradien m, maka persamaan garisnya :

$y-y_1={\color{Red} m}(x-x_1)$

* Jika diketahui dua titik (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) maka persamaan garisnya :

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Nah materi dasarnya di atas jangan sampai terlupa yah, sekarang kita masuk materi yang sesungguhnya…hehehe…

Perhatikan Gambar Grafik fungsi ${\color{DarkGreen} y=f(x)}$

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f(x) di titik A(a, f(a)) adalah

${\color{Red} m}=f'(a)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x₁, y₁) dengan gradien m adalah $y-y_1={\color{Red} m}(x-x_1)$ , sehingga
Persamaan Garis Singgung di titik (a, f(a)) pada kurva adalah

${\color{Red} y-f(a)=f'(a)(x-a)}$

ayooo langsung kita praktikkan…

Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik ( -1 , 1) !
Jawab :

* cari m dulu di x = -1

$\begin{array}{rcl}m & = & f'(a)\\ & = & 2x\\m & = & 2(-1)\\ & = & - 2\end{array}$

* maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m = -2 di ( -1 , 1) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-1 & = & -2(x-(-1))\\y-1 & = & -2x-2\\y & = & - 2x-1\end{array}$
Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik yang berabsis (-2) !
Jawab :

* cari m dulu di absis x = -2

$\begin{array}{rcl}m & = & f'(-2)\\ & = & 2x\\m & = & 2(-2)\\ & = & - 4\end{array}$

* Bandingkan dengan soal no.1, disini kita belum punya y₁ sehingga kita cari terlebih dulu

$\begin{array}{rcl}y & = & x^2\\ & = & (-2)^2\\y_1 & = & 4\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -4 di ( -2 , 4) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-4 & = & -4(x-(-2))\\y-4 & = & -4x-8\\y & = & - 4x-4\end{array}$
Tentukan persamaan garis singgung kurva    yang sejajar garis   y = x !
Jawab :

* cari gradien m dari persamaan garis lurus y = x

ingat    $y={\color{Red} m}x+c$

maka m = 1 , diketerangan soal, garis saling sejajar, maka m₁= m₂= 1

* cari titik singgungnya (x₁,y₁)

ingat maka

$\begin{array}{rcl}m & = & f'(a)\\1 & = & 4x-3\\4x & = & 4\\x & = & 1 \end{array}$

x₁ = 1 maka kita cari y₁dengan mensubtitusi x =1 ke

$\begin{array}{rcl}y & = & 2x^2-3x\\& = & 2(1)^2-3(1)\\y & = & -1\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = 1 di ( 1 , -1) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-(-1)& = & 1(x-1)\\y+1 & = & x-1\\y & = & x-2\end{array}$
Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva    yang terletak tegak lurus garis x – 2y +13 = 0 !
Jawab :

* cari gradien m dari persamaan garis lurus x – 2y +13 = 0

ingat    ${\color{Green} a}x+{\color{Blue} b}y=c$ maka    ${\color{Red} m}=-\frac{{\color{Green} a}}{{\color{Blue} b}}$

untuk x – 2y +13 = 0 maka ${\color{Red} m}=-\frac{1}{(-2)}=\frac 12$

keterangan soal garis saling tegak lurus, maka m_{1 .}m₂= – 1

$\begin{align*}m_1.m_2 & = & -1\\\left ( \frac{1}{2} \right ) .m_2 & = & -1\\m_2 & = & (-1).\left ( \frac 21 \right )\\m_2 & = & -2\end{align*}$

* cari titik singgungnya (x₁,y₁) dengan m = -2

ingat maka

$\begin{align*}m & = & f'(a)\\-2 & = & -4x+6\\-4x & = & -2-6\\x & = & 2\end{align*}$

x₁ = 2 maka kita cari y₁dengan mensubtitusi x = 2 ke

$\begin{array}{rcl}y & = & -2x^2+6x+7\\ & = & -2(2)^2+6(2)+7\\y & = & 11\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -2 di titik ( 2 , 11) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-11 & = & -2(x-2)\\y-11 & = & -2x+4\\y & = & -2x+15\\ & atau & \\ 2x+y-15 & = & 0\end{array}$

sekian,, terus berlatih soal lainnya.. selamat belajar..

I love Math

Minggu, 25 November 2012

Statistika dan Peluang

Persamaan Garis Singgung Kurva