Rabu, 28 November 2012

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda–benda yang didefinisikan dengan jelas.

Anggota Himpunan

a. Untuk menyatakan suatu benda (objek) yang merupakan anggota himpunan dilambangkan " ∈" dan jika bukan anggota dilambangkan " ".
b. Himpunan terhingga dan tak terhingga.
Himpunan terhingga adalah himpunan yang anggotanya tertentu.
Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang anggotanya tak terbatas jumlahnya.

Himpunan kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi himpunan kosong adalah { } atau {0} bukan himpunan kosong karena mempunyai anggota yaitu “nol”.
Himpunan bagian A himpunan bagian dari B jika setiap anggota A merupakan anggota himpunan B danditulis "A( B"
Jika banyaknya anggota suatu himpunan A adalah n(A), maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2n(A)

Himpunan semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua obyek yang dibicarakan. notasi " S".
Diagram Venn
Diagram venn digunakan untuk menyatakan suatu himpunan atau hubungan antar himpunan
Menyatakan suatu Himpunan
1. Dengan kata-kata.
Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.
Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.
2. Dengan notasi pembentuk himpunan.
Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.
Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x €bilangan prima}.
3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.
Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggotaanggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}
Operasi Antar Himpunan dan Diagram Venn-nya 1. Irisan himpunan
A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
A = {1,2,3,4}
C = {3,4,5}
A ∩ C = {3,4}
 
2. Gabungan Himpunan
A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
A = {1,2,3,4}
C = {3,4,5}
A ∪ C = {1,2,3,4,5}

3. Komplemen himpunan
Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x ∈ A}
A’ atau komplemen dari

selamat belajar...

Bilangan Prima dan Faktor Prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat positive yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Misalnya, 7 adalah bilangan prima karena faktor-faktor dari 7 adalah 1 dan 7.

Bilangan prima terbesar yang diketahui sampai saat ini adalah 243,112,609 − 1.

Bilangan prima ini ditemukan pada tanggal 23 Agustus 2008 dan mempunyai 12,978,189 angka.
Bilangan-bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, dan seterusnya.

Perhatikan bahwa 1 bukan merupakan bilangan prima karena ia hanya mempunyai satu faktor.

Anda dapat mengecek apakah sebuah bilangan merupakan bilangan prima dengan memasukkan bilangan tersebut di bawah ini.

Jika satu-satunya faktor prima dari bilangan tersebut adalah bilangan itu sendiri, maka ia adalah bilangan prima.

Faktor prima adalah faktor-faktor dari bilangan bulat yang merupakan bilangan prima. Faktor prima dapat digunakan untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua atau lebih bilangan bulat.

Cara mencari KPK

Caranya anda bisa menggunakan cara menuliskan kelipatannya satu per satu. Contoh:

KPK dari 12 dan 15 adalah:

Kelipatan 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, ...
Kelipatan 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, ...

Kelipatan dari 12 dan 15 yang sama diatas adalah 60, 120, dan seterusnya. Karena kita mencari yang terkecil, maka KPK dari 12 dan 15 adalah 60.


Apabila angka yang akan dicari KPK-nya besar, maka cara diatas sulit dipakai. Ada cara yang lebih mudah lagi dibandingkan cara diatas. Yaitu dengan cara menggunakan faktorisasi prima.

Waduh... kalau ada yang lebih mudah, kenapa pake cara diatas?

Nah, caranya begini.

Misalkan yang ingin dicari faktorisasi prima-nya angka 60. Nah, kita cari bilangan prima terkecil yang bisa membagi angka 60.

Bilangan prima terkecil yang bisa membagi 60 adalah 2. Lalu bagilah 60 dengan 2. Didapatkan angka 30. Lalu cari bilangan prima terkecil yang bisa membagi angka 30, yaitu 2. Lalu bagi 30 dengan 2. Didapatkan 15. begitu terus, sampai angkanya tidak bisa dibagi lagi dengan bilangan prima apapun.

Nah, kira-kira bisa dijelaskan dengan gambar dibawah ini.













Nah, lalu kumpulkan semua bilangan prima. Yaitu 2, 2, 3, dan 5. Nah, apabila ada bilangan yang sama, jadikan dalam bentuk pangkat. Ada 2 buah angka 2. Jadi 22.

Jadi, faktorisasi prima dari 60 adalah 22 x 3 x 5.

Nah, bila dicari KPK-nya, kalikan semua bilangan, lalu apabila ada bilangan yang sama, cari yang pangkatnya lebih tinggi.

Contoh: KPK 30 dan 36.

30 = 2 x 3 x 5
36 = 22 x 32

Karena ada 2 buah angka 2 dan 3, cari yang pangkatnya lebih tinggi. Dalam hal ini adalah 22 dan 32. Jadi KPK dari 30 dan 36 adalah 22 x 32 x 5. = 4 x 9 x 5 = 180
Cara mencari FPB

Nah, cara mencari FPB, salah satunya dengan cara menyebutkan satu-persatu faktornya dan cari faktor yang sama dan yang paling besar.

Misal:

Faktor 15: 1, 3, 5, 15
Faktor 25: 1, 5, 25

FPB 15 dan 25: 5

Sebenarnya ada cara lain. Yaitu menggunakan faktorisasi prima. Caranya yaitu dengan mencari faktor prima yang berada di kedua bilangan dan mempunyai pangkat paling kecil.

Contoh: FPB 30 dan 36.

30 = 2 x 3 x 5
36 = 22 x 32

Maka FPB 30 dan 36: 2 x 3 = 6

semoga sukses..

Bangun Ruang Sisi Lengkung

a. Tabung (Silinder )Dalam tabung (silinder) berlaku rumus-rumus:
i. diameter = 2r atau r = ½ d
ii. Luas ala s= πr2(kuadarat)
iii. Luas Selimut = 2π r t
iv. Luas Permukaan = 2(π r2) + 2π r t
v. Volume = πr2 .t

ket tambahan:  π= 22/7 atau 3,14





b. Kerucut
Dalam kerucut berlaku rumus-rumus:
i. diameter= 2r r= 1/2 d
ii. Luas Alas= πr2(kuadarat)
iii. Luas Selimut=  πr s
iv. Luas Permukaan=  πr2 + πr s
v. Volume= 1/3.πr2 t
ket tambahan: π= 22/7 atau 3,14






c. Bola
Dalam bola berlaku rumus-rumus:
i. Diameter= 2r
ii. Luas Permukaan= 4 πr2(kuadrat)
iii. Volume= 4/3 π r3(kubik)
ket tambahan: π= 22/7 atau 3,14










Contoh Soal tentang bangun Ruang Sisi lengkung:

1. jari-jari lingkaran alas tabung 7 cm dan tingginya 15 cm berapakah volumenya?
2. Keliling alas kerucut 44 cm dan tingginya 24 cm. Hitunglah Luas Selimut Kerucut?
3. Kubah sebuah masjid berbentuk setengah bola dengan diameter 14 m. Berapakah luas permukaan kubah tersebut?


Penyelesaian: 
1. diketahui: r= 7cm     t= 15 cm     π= 22/7 (karena kelipatan 7)
    Volume tabung= πr2 .t
                                V= 22/7 x 7 x 7 x 15
                                V= 154 x 15= 2310 cm3
jadi volume tabung tersebut adalah 2310 cm3


2. diketahui: keliling alas= 44 cm       t= 24cm
                          keliling alas=  πd= 44 cm
                                         22/7 x d= 44 cm
                                                    d= 44 : 22/7
                                                    d= 44 x 7/22
                                                    d= 14 cm
                                                    d= 2r (jari-jari)
                                                 14 cm= 2r
                                                    r = 14 :2 = 7 cm
                  garis pelukis (s)= s2= r2 + t2
                                             s2= (7 x7)+ (24 x 24)
                                             s2= 49 + 576
                                             s2= 625
                                             s= \/625= 25 cm
                 Luas Selimut kerucut = πr s
                                               L = 22/7 x 7 x 25
                                               L = 550 cm2
jadi luas selimut kerucut tersebut adalah 550 cm2

3. diketahui: 1/2 bola     d= 14 cm  π= 22/7 ( karena kelipatan 7)
                                     r= 1/2 d
                                     r= 7 cm
Luas permukaan 1/2 bola = 1/2. 4 πr2
                                                    = 1/2 x 4 x 22/7 x 7 x 7
                                                    = 2 x 22/7 x 7 x 7
                                                    =  308 cm2
jadi luas permukaan kubah tersebut adalah 308 cm2

Rumus Phytagoras

Rumus Phytagoras adalah rumus yang sering di pakai dalam pelajaran matematika di sekolah. Kadang kita di buat bingung dengan rumus pitagoras matematika, bagaimana cara membuktikan kebenarannya? Kurang lebih uraian tentang rumus phytagoras seperti di bawah ini.

Rumus asli phytagoras








Membuktikan kebenarannya, di mulai dengan membuat gambar sebuah persegi besar, kemudian gambarlah sebuah persegi kecil di dalam persegi besar tersebut, seperti gambar berikut:













Perhitungannya :
Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 Luas segitiga
( b + a ) . ( b + a ) = c . c + 4 . 1/2 b.a


b 2 + 2 b.a + a 2 = c 2 + 2 b.a

b 2 + a 2 = c 2 + 2 b.a - 2 b.a

b 2 + a 2 = c 2
Berdasarkan rumus tersebut terbukti bahwa sisi miring sebuah segitiga siku - siku adalah akar dari jumlah kuadrat sisi - sisi yang lain.


rumus yg sering digunakan pada beberapa soal seperti:

Untuk mencari a:
a = √(c2 - b2)
Untuk mencari b:
b = √(c2 - a2)
Untuk mencari c:
c = √(a2 + b2)

Contoh soal:
1. Sebuah segitiga siku-siku dengan sisi alas 8 cm dan sisi tinggi 15 cm. Berapakah sisi miringnya?
Jawab:
Diketahui:
a = 8 cm
b = 15 cm
Ditanya:
c = ?
Penyelesaian:
c = √(a2 + b2)
c = √(82 + 152)
c = √(64 + 225)
c = √289
c = 17
Jadi, sisi miringnya adalah 17 cm.

2. Sebuah segitiga siku-siku dengan garis alas 5 cm dan garis miring 13 cm. Berapakah kelilingnya?
Jawab:
Diket:
a = 5 cm
c = 13 cm
Dit:
k = ?
Peny:
Mula-mula, kita harus mencari sisi tinggi (b) dulu.
b = √(c2 - a2)
b = √(132 - 52)
b = √(169 - 25)
b = √144
b = 12
Lalu, karena b sudah ditemukan, maka kita bisa mencari kelilingnya.
k = a + b + c
k = 5 + 12 + 13
k = 30
Jadi, keliling segitiga tersebut adalah 30 cm.

selamat belajar teman-teman...

Perpangkatan dan akar

Sudahkah hafal bilangan berpangkat??? taukah kalian tentang definisi bilangan berpangkat??
Yuuuk kita pelajari disini….
Bilangan berpangkat yang paling kita hafal adalah bilangan berpangkat dua dan berpangkat tiga, nah…untuk mempelajari materi-materi lanjutan, baik materi bilangan pangkat bulat positif, bilangan bulat negatif maupun bilangan berpangkat pecahan(akar), kita harus tau lebih dalam tentang definisi perpangkatan itu sendiri !

Let’s check this out …

Pangkat Bulat Positif

a^n=\underset{sebanyak\;\; n}{a\times a\times a\times...\times a\times a}


contoh :
1.  10^2=10\times 10=100

2.  3^3=3\times 3\times3= 27

3.  (-5)^4=(-5)\times (-5)\times (-5)\times (-5)= 625

Pangkat Bulat Negatif
\begin{align*}a^{-n} & = & \frac{1}{a^n}\\ & = & \underset{sebanyak\;\; n}{\frac 1a\times \frac 1a\times \frac 1a\times...\times \frac 1a} \end{align*}

Contoh :
1.    2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac 12\times \frac 12\times \frac 12\times \frac 12\times \frac 12=\frac{1}{32}

2.    (-3)^{-3}=\frac{1}{(-3)^3}=\frac {1}{-3}\times \frac{1}{-3}\times \frac{1}{-3}=-\;\frac{1}{27}

3.    \frac{1}{10000}=\frac{1}{10^4}=10^{-4}

4.    7a^{-5}=7.\frac{1}{a^5}=\frac{7}{a^5}

hmmmmm…..kalau sudah tahu prinsip perpangkatan, coba bikin tabel perpangkatan supaya mudah dalam menghafal,ok..???!!
Sekarang kita lihat aturan dalam perpangkatan yuuuuuuk…


Aturan Pangkat
         a^0=1
a^n.a^m=a^{n+m}
       \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
(a^n)^m=a^{n.m}
(a.b)^n=a^n.b^n
 \left ( \frac ab \right )^n=\frac{a^n}{b^n}


Mari kita lihat contoh berikut ini….
1.    2^3.2^2=2^5=32

2.    \frac{5^6}{5^{10}}=5^{-4}=\frac{1}{625}

3.    (2^2)^3=2^6=64

4.    (-2a)^3=(-2)^3.a^3=-8a^3

5.    \left (\frac 5q \right )^3=\frac{5^3}{q^3}=\frac{125}{q^3}

Contoh soal-soal dan pembahasan aturan pangkat mari kita simak yang berikut ini :
Nyatakan dalam bentuk pangkat positif yang paling sederhana !!!!!

\begin{align*}1.\;\;(-5a^{-2}b^3)^2&=&(-5)^2(a^{-2})^2(b^3)^2\\&=&25a^{-4}b^6\\&=&\frac{25b^6}{a^4}\end{align*}

\begin{align*}2.\;\left (\frac{2}{a^3} \right )^{-4} & = & \frac{1}{\left (\frac{2}{a^3} \right )^{4}}\\ & = & \left ( \frac{a^3}{2} \right )^4\\ & = & \frac{a^{12}}{2^4}\\ & = & \frac{a^{12}]}{16}\end{align*}
\begin{align*}3.\;\;\frac{3p^2q^{-5}}{ab^4}\times \frac{a^3b^{-2}}{12p^{-3}q^7}&=&\frac{3{\color{Red} a^3}{\color{DarkBlue} b^{-2}}{\color{DarkGreen} p^2}{\color{Purple} q^{-5}}}{12{\color{Red} a}{\color{DarkBlue} b^4}{\color{DarkGreen} p^{-3}}{\color{Purple} q^7}}\\&=&\frac 14.{\color{Red} a}^{3-1}.{\color{DarkBlue} b}^{-2-4}.{\color{DarkGreen} p}^{2-(-3)}.{\color{Purple} q}^{-5-7}\\&=&\frac 14.a^2.b^{-6}.p^5.q^{-12}\\&=&\frac{a^2p^5}{4b^6q^{12}}\end{align*}

Bilangan akar dinotasikan dengan

\sqrt[n]{a}           dibaca ” akar pangkat n dari a ”   dimana n adalah indeks dan a adalah radikan . 

Contoh :
1.  \sqrt{3}    dibaca akar pangkat 2 dari 3 dengan indeks 2 dan radikan 3

2.   \sqrt[3]{2}  dibaca akar pangkat 3 dari 2 dengan indeks 3 dan radikan 2


Operasi Bentuk Akar Pangkat 2

p{\color{Red} \sqrt{a}}+q{\color{Red} \sqrt{a}}=(p+q){\color{Red} \sqrt{a}}
p{\color{Red} \sqrt{a}}-q{\color{Red} \sqrt{a}}=(p-q){\color{Red} \sqrt{a}}
\sqrt{{\color{Red} a}}\times \sqrt{{\color{Red} b}}=\sqrt{{\color{Red} ab}}
\frac{\sqrt{{\color{Red} a}}}{\sqrt{{\color{Red} b}}}=\sqrt{{\color{Red} \frac ab}}

Contoh :
1.  {\color{Red} 2}\sqrt{5}+{\color{Red} 3}\sqrt{5}-\sqrt{5}=({\color{Red} 2}+{\color{Red} 3}-{\color{Red} 1})\sqrt{5}={\color{Red} 4}\sqrt{5}

2. {\color{Red} 4}\sqrt{{\color{DarkGreen} 2}}\times {\color{Red} 3}\sqrt{{\color{DarkGreen} 3}}={\color{Red} 4.3}.\sqrt{{\color{DarkGreen} 2.3}}={\color{Red} 12}\sqrt{{\color{DarkGreen} 6}}

\begin{align*}3.\;\;\;{\color{Red} 3\sqrt{2}}\left ( {\color{DarkGreen} 4\sqrt{5}}+{\color{DarkGreen} 2\sqrt{3}} \right )&=&\left ({\color{Red} 3\sqrt{2}}\times {\color{DarkGreen} 4\sqrt{5}} \right )+\left ({\color{Red} 3\sqrt{2}}\times {\color{DarkGreen} 2\sqrt{3}} \right )\\&=&12\sqrt{5}+6\sqrt{6}\end{align*}


Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar 

ingat bahwa (a+b)(a-b)=a^2-b^2  maka berlaku pula pada bentuk akar sehingga :
\begin{align*} (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})&=&\left (\sqrt{a} \right )^2-\left (\sqrt{b} \right )^2\\&=&a-b\end{align*}


A. Bentuk   \frac{a}{\sqrt{b}}
Untuk merasionalkan penyebut bentuk akar   \frac{a}{\sqrt{b}}    maka kita kalikan dengan penyebut bentuk akar tersebut ( kalikan dengan \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}   yaaaaa…..)
Contoh soal :
\begin{align*} \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}&=&\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\&=&\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{25}}\\&=&\frac{3}{5}\sqrt{10}\end{align*}


B.  Bentuk    \frac{p}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}    atau    \frac{p}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}
 Untuk merasionalkan penyebut bentuk akar seperti ini  maka kita kalikan dengan sekawan penyebut bentuk akar tersebut.
Sekawan  dari  \sqrt a+\sqrt b  adalah {\color{Red} \sqrt a-\sqrt b}
Sekawan  dari  \sqrt a-\sqrt b  adalah {\color{Red} \sqrt a+\sqrt b}

* ingat  \left({{\color{Red} \sqrt{a}+\sqrt{b}}} \right )\left ({{\color{Red} \sqrt{a}-\sqrt{b}}} \right )={\color{Red} a-b}
Contoh  Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini :

\begin{align*}1.\:\:\:\frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}&=&\frac{{\color{Red} 5}}{{\color{Red} \sqrt{3}+\sqrt{7}}}\times \frac{{\color{DarkGreen} \sqrt{3}-\sqrt{7}}}{{\color{DarkGreen} \sqrt{3}-\sqrt{7}}}\\&=& \frac{{\color{Red} 5}\left ( {\color{DarkGreen} \sqrt{3}-\sqrt{7}} \right )}{{\left (\color{Red} \sqrt{3}+\sqrt{7} \right )}\left ( {\color{DarkGreen} \sqrt{3}-\sqrt{7}} \right )}\\&=&\frac{{\color{Red} 5}{\color{DarkGreen} \sqrt{3}}-{\color{Red} 5}{\color{DarkGreen} \sqrt{7}}}{3-7}\\&=&\frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{7}}{-4}\\&atau&\\&=&-\frac{5}{4}\left ( \sqrt{3}-\sqrt{7} \right )\end{align*}

Nah, bagaimana dengan contoh lainnya? (ayuuuuk kita coba akar yang agak ribet dikit kali yeee…)
* ingat {\color{Red} (\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=a-b}

\begin{align*}2.\;\;\;\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{2}-\sqrt3}&=&\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{2}-\sqrt3}\times \frac{{\color{Red} 3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{{\color{Red} 3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}\\&=&\frac{2\sqrt5\left ( {\color{Red} 3\sqrt{2}+\sqrt{3}} \right )}{\left ( 3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right )\color{Red}\left ( 3\sqrt{2}+\sqrt{3} \right )}\\&=&\frac{2\sqrt5.{\color{Red} 3\sqrt2}+2\sqrt5.{\color{Red} \sqrt3}}{\left ( {\color{Red} 3\sqrt2} \right )^2-\left ( {\color{Red} \sqrt3} \right )^2}\\&=&\frac{6\sqrt{10}+2\sqrt{15}}{{\color{Red} 9.2}\;-\;{\color{Red} 3}}\\&=&\frac{6\sqrt{10}+2\sqrt{15}}{{\color{Red} 18}\;-\;{\color{Red} 3}}\\&=&\frac{6\sqrt{10}+2\sqrt{15}}{15}\\&atau&\\&=&\frac{2}{15}\left ( 3\sqrt{10}+\sqrt{15} \right ) \end{align*}

soal penuh konsentrasi, tetapi sungguh menegangkan dan menyenangkan...