I love Math: Persamaan Garis Singgung Kurva

Gradien Garis disimbolkan dengan “m” dimana :

* gradien pada persamaan garis $y={\color{Red} m}x+c$ adalah m

* gradien pada persamaan garis ${\color{Green} a}x+{\color{Blue} b}y=c$ adalah ${\color{Red} m}=-\frac{{\color{Green} a}}{{\color{Blue} b}}$

* gradien jika diketahui dua titik (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) adalah ${\color{Red} m}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Gradien dua garis lurus

* yang saling sejajar maka $m_1=m_2$

* yang saling tegak lurus $m_1.m_2=-1$

Persamaan Garis Lurus

* Jika diketahui satu titik (x₁,y₁) dan gradien m, maka persamaan garisnya :

$y-y_1={\color{Red} m}(x-x_1)$

* Jika diketahui dua titik (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) maka persamaan garisnya :

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Nah materi dasarnya di atas jangan sampai terlupa yah, sekarang kita masuk materi yang sesungguhnya…hehehe…

Perhatikan Gambar Grafik fungsi ${\color{DarkGreen} y=f(x)}$

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f(x) di titik A(a, f(a)) adalah

${\color{Red} m}=f'(a)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x₁, y₁) dengan gradien m adalah $y-y_1={\color{Red} m}(x-x_1)$ , sehingga
Persamaan Garis Singgung di titik (a, f(a)) pada kurva adalah

${\color{Red} y-f(a)=f'(a)(x-a)}$

ayooo langsung kita praktikkan…

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^2$ di titik ( -1 , 1) !
Jawab :

* cari m dulu di x = -1

$\begin{array}{rcl}m & = & f'(a)\\ & = & 2x\\m & = & 2(-1)\\ & = & - 2\end{array}$

* maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m = -2 di ( -1 , 1) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-1 & = & -2(x-(-1))\\y-1 & = & -2x-2\\y & = & - 2x-1\end{array}$
Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^2$ di titik yang berabsis (-2) !
Jawab :

* cari m dulu di absis x = -2

$\begin{array}{rcl}m & = & f'(-2)\\ & = & 2x\\m & = & 2(-2)\\ & = & - 4\end{array}$

* Bandingkan dengan soal no.1, disini kita belum punya y₁ sehingga kita cari terlebih dulu

$\begin{array}{rcl}y & = & x^2\\ & = & (-2)^2\\y_1 & = & 4\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -4 di ( -2 , 4) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-4 & = & -4(x-(-2))\\y-4 & = & -4x-8\\y & = & - 4x-4\end{array}$
Tentukan persamaan garis singgung kurva    $y=2x^2-3x$ yang sejajar garis   y = x !
Jawab :

* cari gradien m dari persamaan garis lurus y = x

ingat    $y={\color{Red} m}x+c$

maka m = 1 , diketerangan soal, garis saling sejajar, maka m₁= m₂= 1

* cari titik singgungnya (x₁,y₁)

ingat $m=f'(a)$ maka

$\begin{array}{rcl}m & = & f'(a)\\1 & = & 4x-3\\4x & = & 4\\x & = & 1 \end{array}$

x₁ = 1 maka kita cari y₁dengan mensubtitusi x =1 ke    $y=2x^2-3x$

$\begin{array}{rcl}y & = & 2x^2-3x\\& = & 2(1)^2-3(1)\\y & = & -1\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = 1 di ( 1 , -1) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-(-1)& = & 1(x-1)\\y+1 & = & x-1\\y & = & x-2\end{array}$
Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva    $y=-2x^2+6x+7$ yang terletak tegak lurus garis x – 2y +13 = 0 !
Jawab :

* cari gradien m dari persamaan garis lurus x – 2y +13 = 0

ingat    ${\color{Green} a}x+{\color{Blue} b}y=c$ maka    ${\color{Red} m}=-\frac{{\color{Green} a}}{{\color{Blue} b}}$

untuk x – 2y +13 = 0 maka ${\color{Red} m}=-\frac{1}{(-2)}=\frac 12$

keterangan soal garis saling tegak lurus, maka m_{1 .}m₂= – 1

$\begin{align*}m_1.m_2 & = & -1\\\left ( \frac{1}{2} \right ) .m_2 & = & -1\\m_2 & = & (-1).\left ( \frac 21 \right )\\m_2 & = & -2\end{align*}$

* cari titik singgungnya (x₁,y₁) dengan m = -2

ingat $m=f'(a)$ maka

$\begin{align*}m & = & f'(a)\\-2 & = & -4x+6\\-4x & = & -2-6\\x & = & 2\end{align*}$

x₁ = 2 maka kita cari y₁dengan mensubtitusi x = 2 ke    $y=-2x^2+6x+7$

$\begin{array}{rcl}y & = & -2x^2+6x+7\\ & = & -2(2)^2+6(2)+7\\y & = & 11\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -2 di titik ( 2 , 11) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-11 & = & -2(x-2)\\y-11 & = & -2x+4\\y & = & -2x+15\\ & atau & \\ 2x+y-15 & = & 0\end{array}$

sekian,, terus berlatih soal lainnya.. selamat belajar..

I love Math

Minggu, 25 November 2012

Persamaan Garis Singgung Kurva

2 komentar: